Palabras o conceptos
clave:
x = desplazamiento del
suelo durante el temblor
desplazamiento de la masa con respecto al suelo (del u = piso con
respecto al suelo)
y = desplazamiento
total de la masa (piso); entonces: y = x + u (fig. 1-2)
m = masa del piso =
peso del piso entre g (aceleración de la gravedad)
V = cortante
l = rigidez de piso;
entonces:
V = l u
h = coeficiente
de amortiguamiento; valor crítico de h
= 2 mw
El amortiguamiento es una fuerza que se opone al movimiento y que
está en función de la velocidad con que se mueve la masa vibrante
w = frecuencia
circular de la vibración libre
f =
frecuencia del movimiento vibratorio de la masa
T = periodo de
vibración
b
= % de amortiguamiento crítico = h / 2m
w
“espectro de respuesta” es un diagrama de la respuesta máxima
(por ejemplo, del desplazamiento relativo u, del desplazamiento
absoluto y, de la aceleración d2y/dt2, o de la fuerza de resorte V) contra el período de
vibración T, o
contra la frecuencia natural de vibración f, o la frecuencia circular de
vibración w
EL SIGUIENTE TRABAJO ES UNA TRADUCCIÓN DEL LIBRO DEL MISMO TÍTULO
EDITADO POR LA CEMENT PORTLAD
ASOCIATION Y PRETENDE SER UNA AYUDA PARA LOS
INGENIEROS ESTUDIOSOS DEL FENÓMENO
SÍSMICO.
Los comentarios que nos envíen
seguramente serán valiosos y tomados en cuenta. Se agradecen de antemano.
Ing. Américo García Rodríguez
Diseño de edificios de concreto reforzado de muchos pisos
resistentes a sismos
Capítulo 1
Los
terremotos y sus efectos
1.1 Descripción de los movimientos de tierra
(sismos)
En un temblor la tierra
se mueve al azar en todas direcciones. Las mediciones que se han hecho
recientemente (desde hace pocas décadas), de la aceleración como una función
del tiempo, han sido en dos direcciones horizontales. También hay records disponibles tanto de aceleración como de
desplazamiento en el sentido vertical. De estas mediciones de la aceleración se
han obtenido la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo. La
medición de la aceleración hecha de un fuerte terremoto se muestra en la
gráfica de la fig.1-1 ,
que corresponde al componente norte-sur del movimiento del sismo de El Centro
ocurrido en may-18-1940 y que da la aceleración, velocidad y desplazamiento del
suelo como una función del tiempo. Se puede ver que la máxima aceleración del
suelo registrada es de 0.33g, la máxima velocidad es de 13.7 in/seg (34.8 cm/seg) y que el máximo
desplazamiento fue de
El terremoto de El
Centro de 1940 se caracterizó por una relativamente larga duración de la etapa
de gran intensidad. El carácter al azar de este movimiento es evidente, por el
hecho de que los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones son
grandes en solamente los primeros 12 segundos del movimiento.
Para la componente E-W
del mismo terremoto se obtuvo un diagrama similar, aunque los máximos
alcanzados no coincidieron en el tiempo. La resultante horizontal de los
movimientos instantáneos varía en dirección. Debido a la naturaleza al azar de
los temblores, la componente horizontal de casi todos ellos, tiene las mismas
características generales. Los registros y gráficas del movimiento en el sentido
vertical, son similares, aunque ligeramente menores en intensidad.
1.2
Respuesta dinámica de sistemas simples
Si una estructura simple
(Fig. 1.2) sufre un sismo del tipo de
entonces:
u= y-x
------------------- (1.1)
Las columnas de la
estructura ejercen una fuerza lateral o cortante sobre la masa m y
sobre el suelo, de magnitud V, donde V es una
función de u. La relación entre V y u
se simplifica como se muestra en
V=l.u -------------------
(1.2)
Cuando ocurre el cedencia
(yield), en un
determinado desplazamiento, la resistencia permanece constante en una magnitud V.
Si el desplazamiento no se invierte, la deformación puede alcanzar un valor
máximo u. Pero si se invierte, la recuperación elástica sigue a lo largo
de una línea paralela a la línea inicial, y la recuperación vuelve a ser
elástica hasta un valor negativo del punto de cedencia - V, el cual se alcanza en la
dirección opuesta.
(“cedencia o
fluencia” es el esfuerzo en el que el material fluye (fluencia), es decir es el
esfuerzo en el que, sin que éste aumente, el material sigue deformándose. Es
obvio que a partir de ese punto de la gráfica esfuerzo-deformación, el material
no se comporta linealmente y por consiguiente no es válida la ley de Hooke. AGR)
El amortiguamiento de la velocidad del movimiento se considera
como una fuerza que es igual a un coeficiente de amortiguamiento (h)
por la velocidad de la masa m con respecto al suelo, du/dt.
Si consideramos una fuerza de amortiguamiento de magnitud:
El amortiguamiento es una fuerza que se opone al movimiento y que
está en función de la velocidad con que se mueve la masa vibrante
h . du/dt
(eta . du/dt
) (coef. de amortig.
x velocidad de la masa)
La ecuación del movimiento para el sistema
puede escribirse:
m. d2y/dt2 + h. du/dt + lu = 0 ---------------------- (1-3)
(masa x
aceleración + coef. x vel. de la masa + cortante en cols. = 0)
Esta ecuación se puede transformar en la forma siguiente restando
de ambos lados a m. d2y/dt2
y tomando en cuenta que:
d2u/dt2
= d2y/dt2 -
d2x/dt2
entonces: m . d2u/dt2
+ h . du/dt + lu = - m . d2x/dt2
---------------------
(1-4)
(masa x
aceleración de la masa + coef.
de amortig. x vel. del suelo + coef. de rigidez x despl. de la masa = - masa x aceleración del suelo. AGR)
Esta ecuación se puede solucionar de varias maneras. Cuando el
movimiento de tierra es cero, la ecuación (1-4) corresponde a una vibración
libre (sin amortiguamiento). Ese valor del coeficiente que corresponde al caso
límite para el movimiento periódico se llama el coeficiente de amortiguamiento
crítico, y tiene una magnitud que
puede escribirse como:
valor
crítico de h = 2mw --------------------- (1-5)
en
la que w es la frecuencia circular de la vibración libre
(sin amortiguamiento), dado por la ecuación
w2
= l/m, ó w = (l/m)1/2
----------------------
(1-6) ( w = raíz
cuadrada de l/m)
La frecuencia natural f y el período T se determinan
fácilmente de las relaciones:
f = w/2p
y T = 1/f = 2p/w
Es conveniente definir la proporción de amortiguamiento crítico b,
como el cociente entre h y su valor crítico como en
la ecuación (1-7).
b =
h / 2mw
---------------------- (1-7)
Aunque la respuesta dinámica como función del tiempo de un sistema
que tiene características particulares, requiere de un cálculo laborioso, éste
puede realizarse. Para el movimiento de tierra correspondiente al terremoto de
EL Centro, de 1940, los resultados obtenidos por la integración numérica de las
ecuaciones del movimiento se muestran en
Los cálculos se graficaron para un sistema que tiene un período de
vibración T de 1.0 segundos, con un coeficiente de amortiguamiento b
igual a 10 % del valor crítico. Simplemente para ilustrar este ejemplo,
para el sistema elastoplástico,
el desplazamiento en el punto de cedencia
(yield point) fue tomado como
la mitad del desplazamiento máximo. Esto da un factor de ductilidad m de
2 donde el factor de ductilidad se define como el cociente entre el
desplazamiento máximo y el desplazamiento de cedencia del sistema simple.
Sucede en este caso particular que el desplazamiento máximo es
igual tanto para la estructura elástica como para la elastoplástica. Se demostrará más adelante que
generalmente son casi iguales a menos que el factor de ductilidad sea
extremadamente grande.
Es de notar que el comportamiento plástico ocurre solamente para
algunos breves intervalos durante la historia del caso particular mostrado en
Es evidente de la forma de la ecuación (1-4) que para un corto
movimiento de tierra x como función del tiempo, la respuesta de un
sistema elástico depende solamente de la magnitud del amortiguamiento y de la
frecuencia circular de la vibración del sistema o, qué cantidades de los mismos
afectan al porcentaje de la amortiguación crítica o al período natural del
sistema. Es decir las magnitudes de la masa y de la rigidez de la estructura no
afectan independientemente la respuesta a un movimiento de tierra (o sea que la
respuesta depende de ambas variables en conjunto). Sin embargo, puesto que
la estructura está sujeta a un movimiento de la base y no a una fuerza, el
esfuerzo máximo que la estructura experimenta es una función de su rigidez así
como de su período de vibración. En general, cuanto más rígida es la
estructura, mayor será la tensión en el “resorte” ( cortante en las columnas. AGR)
y menor su desviación o desplazamiento relativo para un movimiento de tierra
dado.
La característica más significativa de diagramas tales como los
mostrados en
1.3 ESPECTRO DE
Para una excitación específica de un sistema simple que
tiene un porcentaje particular de amortiguamiento crítico, la respuesta
máxima es una función del período natural de vibración del sistema. Un
diagrama de la respuesta máxima (por ejemplo, del desplazamiento
relativo u, el desplazamiento
absoluto y, la
aceleración d2y/dt2, o
la fuerza de resorte V) contra
el período de vibración T, o contra la frecuencia natural
de la vibración f,
o la frecuencia circular de vibración w,
se llama un “espectro de respuesta”. Los espectros de respuesta más
útiles son los de la aceleración d2y/dt2,
de la velocidad du/dt y del desplazamiento u. No es común
trazar la del desplazamiento absoluto y. Ya que los espectros de
respuesta dan los valores máximos de estas cantidades para cada frecuencia
considerada, es deseable utilizar un símbolo diferente para indicar el valor espectral. Por lo tanto, en lo que sigue, el valor del
espectro del desplazamiento relativo al suelo, lo llamaremos S, el de la
velocidad relativa del suelo con el símbolo Sv, y el de la aceleración
absoluta de la masa será denotado por el símbolo Sa.
Para ser precisos, los valores máximos de la velocidad y la aceleración no
son realmente los de las gráficas espectrales porque es más conveniente y
suficientemente exacto, utilizar algo que se aproxime a las velocidades y
aceleraciones máximas, lo que permite relacionarlos más fácilmente con los
desplazamientos. Las cantidades usadas
son las siguientes.
Sv
= wS = 2 p
f
S
(1-8)
Sa
= w 2S = 4 p2
f 2 S
(1-9)
La cantidad señalada por el espectro de aceleración es realmente
la aceleración máxima para un sistema sin amortiguamiento, y es casi igual a la
aceleración máxima para un sistema con amortiguamiento.
La cantidad usada en lugar de la velocidad relativa real es
también casi completamente igual a la velocidad
relativa máxima, excepto para sistemas de frecuencia muy baja. Es
exactamente igual a la velocidad máxima si esto ocurre después de que el
movimiento de tierra cesa. Es una medida de la energía elástica en los
elementos de “resorte” del sistema. Esto se puede demostrar por la siguiente
transformación, que se obtiene directamente de la definición de la energía
almacenada U como el área bajo la curva cortante-desplazamiento:
U/m = ½ V . u /
m = ½ . ( l /
m) . u2 (1-10)
U llega a su máximo Um, cuando u es igual a S
Um/m =
½ w2 S2 = ½ Sv2
(1-11)
Debe observarse de las ecuaciones (1-8) y (1-9) que si el
desplazamiento espectral se indica en pulgadas, la velocidad espectral estará en pulgadas por segundo y la aceleración espectral
en pulgadas por segundo al cuadrado. Para que la aceleración espectral esté
indicada en unidades de la gravedad, el lado derecho de la ecuación (1-9) se
debe dividir por la aceleración de la gravedad.
Los espectros de la respuesta dinámica para los sistemas elásticos
de un grado de libertad se han calculado para un cierto número de movimientos
(referencias 5,6,8,9,11,12,13,14,15,16 ). Típico de los resultados, son los
espectros mostrados en las figs. 1-5 y 1-6. La fig.
1-5 muestra los espectros de respuesta de la aceleración de los sistemas
elásticos con varios grados de amortiguamiento, desde ningún amortiguamiento
hasta el 20 por ciento de la amortiguación crítica. En
Aunque hay diferencias de menor importancia entre los espectros
trazados para diversos datos de entrada (input
data), todos demuestran, grosso modo, las mismas características generales como
sigue:
1. - los espectros para amortiguamiento cero, muestran
marcadamente, oscilaciones con picos agudos muy irregulares.
2. - las oscilaciones generalmente disminuyen cuando el
amortiguamiento aumenta.
3. - para períodos extremadamente cortos (o para estructuras de
muy alta frecuencia), los valores espectrales de la aceleración se acercan a las
magnitudes de la aceleración máxima del suelo. Para períodos moderadamente
cortos, del orden de
4. - para períodos muy largos o para frecuencias muy bajas,
los desplazamientos espectrales máximos se aproximan al desplazamiento máximo
del suelo.
5. - para las frecuencias intermedias, la velocidad
espectral máxima tiene una magnitud varias veces mayor a la velocidad
registrada para amortiguamiento cero, decreciendo el rango de los valores desde
los máximos registrados de la velocidad del suelo, hasta los correspondientes a
los del 20 por ciento del amortiguamiento crítico.
6. - para amortiguamientos en el rango del 5 al 10 por ciento del
crítico, el espectro máximo es del orden de dos veces para la aceleración máxima
del suelo, la velocidad espectral máxima es del orden de 1.5 veces y el
desplazamiento espectral máximo es del mismo orden que el desplazamiento máximo
del suelo.
1.4 PREDICCIÓN DE LOS ESPECTROS GENERALES DE RESPUESTA PARA
SISTEMAS ELÁSTICOS SIMPLES
Las amplias generalizaciones precedentes sobre los valores
espectrales nos dan una indicación de cómo podemos estimar los espectros para
otros terremotos donde no están disponibles los expedientes o bien para
predecir los terremotos futuros. Para los sistemas elásticos con grados de
amortiguamiento del 5 al 10 por ciento del crítico, el espectro en un registro log-log (véase Fig. 1-6) se
puede considerar limitado por tres líneas:
1. - una línea de la aceleración que tiene una magnitud
igual a dos veces la aceleración máxima del suelo,
2. - una línea de la velocidad con magnitud igual a 1.5
veces la velocidad máxima del suelo,
3. - una línea del desplazamiento con magnitud igual al
desplazamiento máximo del suelo.
Para cantidades muy pequeñas de amortiguamiento, menores de 2 por
ciento, los coeficientes numéricos de 2, 1.5, y 1.0, respectivamente, para la
aceleración, la velocidad, y el desplazamiento del suelo se convierten casi en
4, 3 y 2, o sea casi el doble en cada caso, si uno considera los
valores límite superiores de las fluctuaciones individuales. Sin embargo, los
promedios de las fluctuaciones no están muy lejos de los valores límite
resumidos arriba y son probablemente cantidades más significativas.
Otros métodos de predicción son utilizar los valores espectrales
promedio de varios terremotos, o ajustar un espectro promedio “suavizado”,
según se muestra en el apéndice B, figs. B-5 y B-6,
para tener en cuenta posibles variaciones en la distancia al epicentro y a la
magnitud de terremotos futuros.
1.5 ESPECTROS DE RESPUESTA DINÁMICA PARA LOS SISTEMAS
INELÁSTICOS SIMPLES
El cálculo de la respuesta de
sistemas inelásticos es más difícil que para los sistemas elásticos.
Sin embargo, los cálculos se han hecho para varias clases de entradas de datos,
basados en la curva elastoplástica relativamente
simple de carga-deformación en la cual la deformación es proporcional a la
carga hasta el punto de cedencia (yield point) y después de que la deformación se
incrementa sin aumentar la carga como se ilustra en la fig. 1.3, hasta que el
material vuelve a resistir (“tomar”) más carga. Otros tipos de sistemas
inelásticos se ilustran en la fig. B-4 del apéndice B. Tales sistemas muestran
un poder de absorción de energía algo mayor para el mismo grado de ductilidad.
Hay disponibilidad de resultados de cálculos de sistemas que no son elastoplásticos. Los resultados
de estos varios cálculos son razonablemente consistentes.
Similares resultados han sido reportados en otros lugares.
Desplazamientos considerablemente más grandes para los sistemas elastoplásticos que para los
sistemas elásticos que tienen el mismo período se han reportado para
condiciones que casi corresponden a los sistemas rígido-plásticos, pero muy
lejos de cualquier rango práctico (que corresponde a valores del factor
de ductilidad de
En la referencia 8, los cálculos fueron hechos usando los
procedimientos desarrollados en la referencia 7, para lo cual fueron preparados
los espectros de respuesta mostrados en las Fig. 1-8 y 1-9.
Los espectros de respuesta trazados ahí corresponden al componente
elástico de la respuesta del sistema elastoplástico.
Trazado de esta manera, uno puede utilizar el mismo tipo de diagrama que el de
Estos espectros para los sistemas elastoplásticos tienen las mismas características
generales que los espectros para los sistemas elásticos, pero en general los
diagramas del espectro aparecen desplazados hacia abajo, en cada frecuencia,
por una cantidad que depende del factor de ductilidad. También parece, por la
comparación entre las figs. 1-8 y 1-9, que las dos
fuentes de absorción de energía -amortiguamiento viscoso y comportamiento
plástico - afectan la respuesta de manera casi igual y son de modo general,
aditivos en sus efectos. Sin embargo, la influencia del amortiguamiento viscoso
parece disminuir al aumentar el factor de ductilidad y también parece que
la absorción de energía aumenta con el comportamiento plástico. Esto se deduce
por el hecho de que en las figs. 1-8 y 1-9, los
datos de entrada (data) coinciden mas para un factor de ductilidad de 4 que los
correspondientes a un factor de ductilidad de 1. Diagramas similares se han
obtenido para otros terremotos diferentes al del EL Centro de 1940.
Como ejemplo del uso del espectro elástico de respuesta mostrado
en Fig. 1-6, uno puede leer en él, para los movimientos que corresponden al
terremoto de EL Centro de 1940 y para una estructura con un período de 1
segundo y 10 por ciento de amortiguamiento crítico, valores de la velocidad
espectral de 20 pulg. / segundo, de una aceleración espectral de 0.33g, y
de un desplazamiento espectral de 3.2 pulg. Para el
mismo periodo y factor de amortiguamiento, un sistema elastoplástico con un factor de ductilidad de 4
tendrá una aceleración de solamente 0.1g y un desplazamiento elástico de cerca
de 1.0 pulg. y
un desplazamiento total de cerca de 4 pulg., de Fig.
1-9.
Si la misma estructura elástica tuviera un período de 2 segundos
en el rango elástico, tendría una aceleración espectral de 0.13g y un
desplazamiento espectral de cerca de 5 pulg. Para un
sistema elastoplástico
con un factor de ductilidad de 4, estas cantidades se convierten en 0.04g y 1.5
pulg. para
el desplazamiento elástico y 6 pulg. para el desplazamiento total.
1.6 ESPECTROS DE DISEÑO PARA LOS SISTEMAS SIMPLES ELASTO-PLASTICOS
De los datos antedichos, y dentro de los límites de la previsibilidad de las características de los terremotos
futuros, podemos concluir que un espectro razonable de diseño para un sistema elastoplástico puede ser
derivado simplemente tomando en cuenta el hecho de que el desplazamiento
espectral del sistema elastoplástico
es prácticamente igual que el de un sistema elástico que tiene el mismo período
de la vibración. Por lo tanto, uno podría obtener un espectro de diseño para el
sistema elastoplástico
dividiendo las ordenadas de respuesta del espectro del sistema elástico
de cada período, por el factor de ductilidad para el cual se desea
diseñar. Por ejemplo, con un factor de ductilidad de 4, que es un valor
razonable de diseño, uno dividiría los valores del espectro elástico
entre 4 para obtener los valores elastoplásticos.
Se observa que, aproximadamente, un factor de esta magnitud parece ser
consistente con el espectro calculado de EL Centro y la mayoría de los
códigos de diseño.
Aproximaciones levemente diferentes al diseño de sistemas
inelásticos fueron propuestos por Housner
y Blume. Estos
procedimientos, uno de los cuales también se describe en la referencia 8,
consideran que en vez de la
desplazamiento espectral que es igual para una frecuencia dada, la energía
absorbida es igual para el sistema elastoplástico
y el sistema elástico. También fue sugerido que el período y el amortiguamiento
podrían ignorarse y no tomarse en cuenta para reducir los coeficientes
elásticos para obtener los coeficientes para los valores elastoplásticos. Este
criterio de la energía conduce a una formulación levemente diferente que
correspondería a ajustar hacia abajo los espectros elásticos por un cociente
que, en vez de ser m, sería:
(2m-1)1/ 2 (raíz
cuadrada de 2m - 1)
La diferencia de resultados entre las dos aproximaciones para los
valores útiles de m es de menos de 5, que no
es grande en vista de la incertidumbre de los cálculos.
Normalmente no es deseable diseñar directamente para factores de
ductilidad mayores de 4 o 5 o para cocientes de amortiguamiento crítico mayores
de
1.7 FACTORES DE DUCTILIDAD PARA LAS ESTRUCTURAS
La magnitud del factor de la ductilidad que se puede alcanzar en
una estructura depende del material, la complejidad y la configuración
estructural, la velocidad de carga, la temperatura, la tendencia de algunos
materiales de fallar con una fractura frágil, y otros factores, incluyendo
juntas, conexiones, y concentración de esfuerzos. Por lo
tanto, la ductilidad del material usado no es una indicación directa de la
ductilidad de la estructura en su totalidad.
Aunque se reconoce que los efectos de explosiones nucleares en las
estructuras no son comparables con los efectos de un terremoto, las pruebas de
laboratorio y los datos que se han obtenido en el terreno de pruebas con armas
nucleares tienen alguna significación en la consideración de la ductilidad de
estructuras. Las indicaciones son que las estructuras de configuración práctica
que tienen marcos de materiales dúctiles, o con una combinación de materiales
dúctiles, tienen generalmente factores de ductilidad bajo carga de explosión de
cerca de
Para llegar a una base para la selección de un factor de
ductilidad de diseño, se consideró una ductilidad asumida implícitamente como
estándar y aceptada en los procedimientos de diseño sísmico. Si uno considera
la transmisión de energía de un edificio masivo hacia la tierra y otros
factores atenuantes, un cociente mínimo de ductilidad del orden de
Una ductilidad mayor o considerar toda la capacidad adicional
absorbente disponible de energía puede tomarse en cuenta para estructuras
especiales, para riesgos de terremotos más severos, o para los pisos superiores
de edificios esbeltos.
Para los que deseen considerar este problema basándose en la
resistencia total (incluyendo la contribución de paredes o de otros elementos),
o de otro planteamiento de los terremotos, y con base en la reconciliación
de la energía, pueden usar la técnica de la energía de reserva descrita en el
apéndice B. Este procedimiento también prevé cambios en la rigidez y el período
bajo sacudidas severas de un movimiento de tierra.
Según lo indicado en el primer párrafo de esta sección, la
determinación de la ductilidad y la capacidad de energía requerida para una
estructura específica depende
de muchos factores y está, por lo tanto, más allá del alcance de este manual.
En vista de esto, se adopta un criterio mínimo: que las estructuras de
concreto reforzado resistentes a sismos deben ser diseñadas, detalladas,
y construidas de manera que el factor de ductilidad sea por lo menos de 4
en el punto del principio del daño visible, e incluso mayor en el punto del
principio del daño estructural.
C O N T I N U A R Á
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